KONSTRUKSI PI

KONSTRUKSI  PI (p)

—  Seharusnya setiap objek mempunyai nilai K/D yang sama, yaitu K/D = 3,14.

—   Tahun 1737, Leonard Euler asal Swiss, menamakan K/D = p

—  Nilai eksak p, tidak dapat ditentukan, hanya pendekatan.

—  Nilai p mendekati 50 tempat desimal, yaitu

—  p = 3,14159265358979323824626433832795028…

—  Metode Archimedes didasarkan pada fakta bahwa keliling suatu poligon (segi banyak) n beraturan lebih kecil daripada keliling suatu lingkaran yang mengelilingi poligon itu.

—  3,14085 < p < 3,142857, dan dari daftar di atas, konsep Archimedes menjelaskan bahwa untuk jumlah sisi yang bertambah besar menghasilkan nilai p yang lebih akurat.

 Pendekatan Geometri p

—  Tahun 1685, Father Adam Kochansky, seorang pustakawan raja John III Polandia.

—  Buatlah sebuah lingkaran satuan, kemudian lukis segmen garis singgung QR yang panjangnya 3 kali panjang jari-jari. Buatlah diameter tegak lurus terhadap QR di Q sebagai titik perpotongan dan sekaligus sebagai titik singgungnya. Buatlah sebuah garis d sebagai garis singgung pada ujung lainnya dari diameter tadi sehingga ukuran sudut pusatnya sebesar 30°. Hubungkan titik-titik dan perpanjangan segmen tadi untuk membuat gambar seperti tampak di bawah ini. Kini Anda telah siap menghitung nilai p, yaitu jika panjang jari-jarinya 1 maka panjang garis c menyatakan nilai pendekatan untuk p.

 Analisis:

—  Jika r = 1, dalam DPQR, (a+2)²+3² = (b+c)²…..(1)

—  Kesebangunan D, a/(a+2)=d/3 ….(2)

—  Juga b/(b+c) = d/3…..(3)

—  Dari persamaan (2) diperoleh 3a = ad + 2d

—  Û a = 2d /(3-d)

—  Tetapi, tan 30° = d/1 = d = Ö3/3

—  Oki,a = 2(Ö3)/3:3(Ö3)/3=2(Ö3):(9-Ö3)..(4)

—  Dr. pers. (3) diperoleh b = cd/(3-d) =

—  cÖ3/(9-Ö3)………………….(5)

—   Dengan mensubstitusi persamaan (4) dan (5) ke dalam persamaan (1), maka

—  (2Ö3/3:3Ö3/3+2)² + 9 = (cÖ3/(9-Ö3) + c)²

—  Û c = Ö40/3- 2Ö3 = 3, 141533

—  Dari seluruh penjelasan di atas tentang nilai p tak satupun yang merupakan nilai eksak (pasti), tetapi merupakan pendekatan saja. Osb, suatu hal yang tak mungkin mengkonstruksi nilai p dengan jangka dan penggaris.

 Tugas KIR 3:

—  1. Sebutkan manfaat p dalam kehidupan sehari-hari.

—  2. K = 2pr², p=3,14, r=7, tentukan K?

—  3. L= p r², p= 22/7, r=7, tentukan L?