PEMBUKTIAN DENGAN LOGIKA MATEMATIKA

METODE PEMBUKTIAN

Hukum atau rumus di Matematika umumnya dapat ditulis dalam bentuk

Jika p maka q

Atau ditulis  secara singkat sebagai  p  --- >   q. Sebagai contoh

a.       Jika dua sudut dalam segitiga ABC sama, maka panjang dua sisi dihadapan sudut segitiga ABC tersebut, sama.

b.      Jika x > 7, maka x > 3.

Tabel kebenaran dari pernyataan ini adalah

p	q	p à q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Jika diketahui pernyataan p ---> q bernilai B atau benar, maka pernyataan q ---> p tidak selalu bernilai B juga. Sebagai contoh, kalimat kedua. Pernyataan :

Jika x > 3, maka x > 7

 Pernyataan terakhir ini bernilai S. Sebagai contoh x = 5, memenuhi pernyataan x > 3, tetapi tidak memenuhi pernyataan x > 7.

Metode pembuktian yang dibahas di sini adalah cara untuk memperlihatkan bahwa pernyataan p ---> q bernilai B jika p bernilai B. Dengan kata lain, jika p bernilai B maka q juga bernilai B.

Perhatikan bahwa jika p ---> q sudah dibuktikan kebenarannya, pernyataan p tidak selalu bernilai B. Sebagai contoh, misalkan kita telah membuktikan bahwa

Jika x tinggal di Sulawesi maka z tinggal di Indonesia

Dalam hal ini

p	x tinggal di Sulawesi
q	x tinggal di Indonesia

Selanjutnya, jika x adalah  seorang yang tinggal di Tanjung Pinang, maka p merupakan pernyataan yang salah, tetapi pernyataan p à q tetap benar. Berdasarkan tabel kebenaran di atas, dalam hal ini nilai kebenaran q dapat B atau S.

Ada beberapa cara untuk melakukan pembuktian q bernilai B (atau p à q bernilai B) jika p bernilai B.

a.       Pembuktian langsung

Metode ini dilakukan dengan cara sebagai berikut: Asumsikan bahwa p bernilai B. Kemudian dengan menggunakan pernyataan jika-maka yang lain, kita dapat memperlihatkan bahwa q juga bernilai benar. Oleh karena itu pernyataan p à q bernilai B, yaitu berdasarkan baris pertama dari tabel kebenaran di atas. Secara abstrak, ini ditulis sebagai aturan silogisme

p à q

r à q

      \   p à q

b.      Pembuktian tak langsung atau dengan kontrapositif

Pernyataan p à q ekuivalen dengan pernyataan ~  q à  ~ p. Oleh karena itu dengan membuktian secara langsung bahwa ~ q benar maka ~ p benar, kita telah membuktikan ~ q à ~ p dan sekaligus p à q bernilai B.

c.       Pembuktian dengan kontradiksi

d.      Sekali lagi kita ingin membuktikan bahwa p  à q bernilai B jika p bernilai B. Kemudian kita anggap bahwa pernyataan p à q salah. Hal ini terjadi jika p bernilai B dan q berniali S atau ~ q berniali B.

Misalkan kita dapat menemukan pernyataan r sehinngga (artinya kita dapat membuktikan bahwa)

p/\ (~ q) à r /\ (~ r)                                  (1.1)

     bernialai B. Perhatikan bahwa bagian kesimpulan dari pernyataan ini ( r /\ (~ r) selalu bernilai salah. Sesuai dengan baris ke empat tabel kebenaran implikasi, maka hipotesis pernyataan (1.1) bernilai S atau pernyataan

~ [ p/\ (~ q)]          (~ p ) \/ q

Bernilai B. Sedangkan pernyataan (~ p ) \/ q ekivalen dengan p à q.

Jadi kita telah membuktikan pernyataan p à q bernilai B dengan cara kontradiksi adalah sebagai berikut.(sUMBER: Langkah awal menuju olimpiade matematika oleh : Wono Setya Budhi buku 1 hal. 4-6, tahun 2006. penerbit R Ricardo: Jakarta selatan.